223 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

   

de cette formule

   
 
   
 
  
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
  
  

 

 

; m æ m ; x
; + | ælog = — log —— | + log(1 + en );

ou, en écrivant m—+ 2 au lieu de m et faisant tendre m

vers l’infini,
m=

(2) logl“(.æ:+1‘::î[rlog<1—æ— ; >—log<l+—£—\îl—
; m+1 m+r)

£
m=0

 

Cette formule (2) est équivalente à la formule (1) et
elle exprime, comme celle-ci, la définition générale des
fonctions [.

Il est facile maintenant d’établir la généralité de la for-
mule (18) du n° 392. En effet, cette formule (18) et la
formule qui précède s’accordent à donner, par une double

différentiation,
m=œe
d’logr(æ+1) I
da e (æ@+—m+1)?
m=0

les premiers membres de ces deux formules avant ainsi
la même dérivée du deuxième ordre, ils ne peuvent dif-

férer que par une fonction linéaire de x ; mais, comme ils
sont égaux pour toutes les valeurs de x entières et posi-

tives, on en conclut qu'’ils sont égaux, quel que soit x.
, q 5 , ]

396. Nous ne pouvons nous dispenser de rappeler ici
que, si x est une quantité positive, la fonction l'(x) n’est
autre chose que celle qui areçu de Legendre la dénomi-
nation d’intégrale eulérienne de seconde espèce. Fffec-
tivement, en écrivant x — 1 au lieu de x, la formule (1)
du numéro précédent devient

5 m0 um ;
P(a)=————————————— (pourm=œ»)

æ(x+1)...(x+m—1) °