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220 COURS D'ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

nombreentier négatifet qui seréduit au produit r.2.3...x
quand x estun entier positif; elle coïncide, dans ce der-

nier cas, avec la fonction dont nous venoñs de nous
occuper.

On arrive très-facilement à la notion des fonctions gé-
nérales F quand on cherche à interpoler la fonction nu-
mérique 1.2.3...x, c’est-à-dire quand on cherche à
représenter le produit 1.2.3...x par une fonction de x
qui conserve une signification bien définie lorsque x
cesse de représenter un nombre entier positif.

En effet, soient x et m deux nombres entiers positifs.
Les x fractions

n m m

 

Mn T0 E

m1 m+ 2 mx
tendront vers l’unité si, x restant constant, on fait
croître m indéfiniment; il en sera donc de même du
produit de ces x fractions, et l’on aura

m®
(m+1)(m+2}.. (m+x)

\

#
f E R A S
\I ï °…,——I,

€ désignant une quantité qui s’annule pourm=œ . On
peut écrire aussi
.. m) m*

sn
Iî3——.—(m I+En) 1

ou, en multipliant les deux membres par 1.2.3...x,

(1:2.3: <m mE

(.z‘+1)(æ+2)...(æ+m)

r s7 =

 

(I t ‘m)*
Faisant tendre l’entier » vers l’infini, on aura

; ; 2 53> < pome
({r)'a1250 0= lim sn 17 (rourm=—n).
æ+1)(æ+2)...(xm)

/

 

Le  second membre de cette formule devient infini