212 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

 

CHAPITRE V.

SUR LA TOTALITÉ DES NOMBRES PREMIERS COMPRIS
ENTRE DES LIMITES DONNÉES.

Sur l'évaluation approchée du produit 1.2.3...x,
quand x est un grand nombre.

369. La théorie que j'ai surtout en vue dans ce Cha-
pitre exige que l’on connaisse les premiers termes de la
série par laquelle on exprime le logarithme du produit
des x premiers nombres entiers. Cette'série célèbre est
celle de Stirling, et ellea faitl’objet des recherches d’un
grand nombre de géomètres, parmi lesquels je dois spé-
cialement mentionner Cauchy, Binet, M. Malmsten et
M. Liouville. Mais, parmi les démonstrations diverses
qu’on possède de cette formule, Je ne crois pas qu'il y en
ait de plus simple que celle que j'ai présentée à l’Aca-
démie des Sciences, dans la séance du 2 avril 1860, et que
j'ai reproduite dans une Note qui fait partie de la sixième
édition du Zraité éléementaire de Calcul (/{[]ël‘€flliæl el
intégral de Lacroix. J'ai montré dans cette Note que la
formule connue de Wallis suffit pour établir compléte-
ment celle de Surling, et la déduction est si facile, que

“ la deuxième formule peut en quelque sorte être regardée

comme une transformée de la première. Je ne reproduirai
pas ici tous les développements que j'ai donnés ailleurs
sur ce sujet, et je me bornerai à établir les seuls ré-
sultats qui sont indispensables pour l’objet spécial que
j'ai en vue.