210 COURS D'ALGEBRE SUPÉRIEURE.

X, X1 « + , Œp_ étant des entiers positifs ou nuls et in-
férieurs à p.

Désignons par & un entier arbitraire, el faisons gé-
néralement

x 2 … es } t ë |
(21) GH== A HO ur À a, [Àî+1+'°'+aak——llfl+l +z/‘+] \mod.j?/,

aï, à!, ... étant des fonctions entières de ,, i», .. , Ûx
qui se réduisent à des entiers dans le cas de À= o; la
quantité Ex, se réduira elle-même à l’unité dans le cas
de «#= 0. Quant aux racines ë,, 1», .. ., ip, elles sont,
je le répète, définies par les formules (15).

Cela posé, je dis que les (p — 1) p* racines de la con-
gruence

(22) Zz,=0o (mod. p)
sont données par la formule

(23) æ

J

S

xs dipd..p),

dont le second membre est effectivement susceptible de
(p— 1) p* valeurs différentes. Deux de ces valeurs de x
sont nécessairement distinctes, car leur différence est
une fonction de degré inférieur à p par rapport aux quan-
tités / qui y figurent, et notamment par rapport à celle àn
de ces quantités qui a le plus grand ‘indice. Si donc la
différence dont nous parlons était congrue à zéro, i,, se-
rait racine d’une congruence de degré inférieur à pn ce
qui n’a pas lieu. ‘

D’après cela, il nous suffit de prouver que la valeur (23)
de x satisfait à la congruence (22), et nous y parvenons
sans difficulté au moyen du lemme du n° 384.

Faisons, pour abréger,

— +aup+...+a,pt
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