SECTION III[. — CHAPITRE IV. 20I

définies par les formules (15), satisfassent effectivement
aux congruences respectives

 

(16) X,—1=0, KX,—1=0, K,—1=0, … Kp-+—1=0 (mod. p)

Pour remplir cet objet, nous aurons à nous appuyer sur
un lemme que nous allons d’abord établir.

384. Lemme. — Soit
f(8)=a+at+at+...+at
une fonction entière du degré v< p, d’une quantité Ç

racine d8 l[l COIZgI'IL(?ÏZCC

m

Ç/)I’ e "1 (n10d.p)»

et dont les coefficients a, réels ou imaginaires, satisfont
tous à la congruence

m

aë — a=o (mod.p);
a ; ;
si l’on attribue à X, la valeur f(C), on aura
X,prp=1.2...v.a, (mod. p).

La démonstration de ce lemme se déduit très-facile-
ment de Ja formule (5), qui donne l’expression de
Aspusp C1 fonction de X,. Pour élever f(Ç) à la puis-

E sance pé-?", il faut répéter v— Æ fois l’opération de
l’élévation à la puissance pP”; or, d'après l’énoncé
du lemme, cette opération change ? en Z+ 1 et elle
laisse invariables les coefficients a; donc l'hypothèse
e , 3 aaî >
X,= f (C) entraîne

—Kk) p 3
X'ç’<v =— f k) (mod. p),

et, à cause de la formule (5),

y » v(‘)—l)

Xypr4p =/ (6+y) 1f;‘: Hy—r)4

 

f(crs—a)+..)
; ) (mod. p).
+(cy= sm (s )

1.2