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SECTION I. — CHAPITRE IV. 199

383. Considérons d’abord les fonctions entières irré-

ductibles de degré p” et du premier genre. Le produit
de ces fonctions est

Xpi — 1=1 (X,=1—g) (mod. p),

le signe de produit II s’étendant aux valeurs 1, 2, .. ;

(p—1) de g. Le facteur Xpn_l——g est ce que devient

Z r

X— quand on y remplace x par — et qu’on mul-
F s

tiplie le résultat par g; il s’ensuit que la recherche des
fonctions entières irréductibles du premier genre est
ramenée à la décomposition en facteurs de la seule ex-
pression
n—1

(9) KH 1P e — 1 (mod. p).

Soient F (x') l’un des facteurs irréductibles de la fonc-
tion (9) et /, une racine de la congruence
(10) ‘ F(æ)=0 (mod. p).

La racine ?, appartiendra aussi à la congruence

(11) X,1— 1=0 (mod. p),
et l'on aura en conséquence

n—1

n .
(12) æ —i=r (mod. p).

\

En tenant compte de laformule (12), lacongruence(1 1)
peut s’écrire de la manière suivante ;

n—t

( —, PE — (æ—t)=0 (mod. p),

, n—1 .
et, par conséquent, les /)P' racines de cette con-
gruence seront données par la formule

(13) x=in+f(in-s) (mod. p),

dans laquelle ;,_, désigne une racine d’une congruence