198 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

X})"_l+)__l—' & où ga les valeurs 1, 2, ..-, Pp—1, e
cette dernière fonction est elle-même le produit de
pP"+-r=t facteurs irréductibles du degré p”.

Il y a lieu de distinguer en plusieurs genres les fonc-
tions entières irréductibles de degré p”, ainsi que je l’ai
fait déjà dans le cas particulier de n = 1. Je nommerai
fonctions du X‘éme genre celles dont XP4544 — 1 est le
produit, À ayant les valeurs Ë

—
p 2 3s (RS

=

et le dernier genre, celui qui répond à \=(p—1)p""",
sera dit le genre principal.

Si l’on exécute le changement de x en xP— x, dans
le second membre de la formule (8), chacun des
p*—p"-!— 1 premiers facteurs entre parenthèses se
changera dans le facteur suivant, d’après ce qui a été
dit plus haut. Quant au dernier facteur X23 — 1, qui
est le produit des fonctions irréductibles du genre prin-
cipal, 1l se changera en X77*—1, ce qui est le premier
facteur de V,41, c’est-à-dire le produit des fonctions
entières irréductibles du degré p”*+! et du premier genre.
De cette considération résulte immédiatement le théo-
rème suivant :

Tnéorème. — Soit F(x) une fonction .entière du
degré p”, irréductible suivant le module premier p. Si
cette fonction appartient au X'éme senre supposé non
principal, la fonction F(xP—x)ou F(X;) sera réduc-
tible, et elle se décomposera en p facteurs du degre p”,
irréductibles suivant le module p et appartenant au
(à +1)‘ème genre. Mais, si la fonction F (x) de degré p"
eppartient au genre principal, la fonction F (xP — x)
sera elle-méme irréductible suivant le module p, et

elle‘appartiendra au premier genre des fonctions de
degre p"+1,