I78 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

congruence précédente est satisfaite par k = n, on voit
que X{ appartient à l’exposant n.

Je dis en outre que la fonction irréductible #(X) ap-
partient à l’exposant n. En effet, désignons par #,(X)
et ®(X) le quotient et le reste de la division de X7 — 1
par $(X) suivant le module p, on aura

X*—1=—$(X)$,(X) + #(X) +pz(X),

x étant une fonction entière. Cela posé, les congruences

- 1—0, $X)=o [mod. p, F(x)]

admettent les y racines qui forment la suite (3); donc ces
racines appartiendront aussi à la congruence

®(X)=0o [mod.p, F(=)],

etcommecelle-cine peutêtre d’un degré supérieuräy — 1,
elle est nécessairement identique et l’on a

®(X)=0 (mod. p),
d’où

ce qui exprime la proposition énoncée.

371. D'après ce que nous venons de voir, si l’on veut
former toutes les fonctions irréductibles du degré y qui
appartiennent à l'exposant n, diviseur propre de p’— 1,
on posera

a-—1=5mN,

et l’on prendra ensuite pour e l’un quelconque des mul-
tiples de m premiers à n. L’expression générale des fonc-
tions demandées sera

$(X)=(X—X{) (XK—Xÿ)..(X—x#") [mod. p, F(æ)].