SECTION IIl. — CHAPITRE ITI. 177

$ (X) étant une fonction irréductible suivant le module p,
dont le degré y est égal à y ou à un diviseur de v. Alors

les racines de la congruence (2) seront (n° 368)

(3) x RS

et, comme on dÔit avoir

(4) - X* =X - où Xeprf-)=1  [mod. p, F(æ)1,

l’exposant e(p*— 1) sera un multiple de p'—1. Posons
ps LUN

et supposons que m soit le plus grand commun diviseur
des nombres e et p’—1 ; la condition pour que la con-
gruence (4) ait lieu se réduira à celle de la divisibilité
de p*— 1 par n. Mais, pour que les fonctions (3) soient
effectivement distinctes, il faut en outre que p soit le plus
petit nombre tel, que p*— 1 soit divisible par n.

Le degré u de la congruence (2) étant ainsi déterminé,

on aura identiquement (n° 345)
$(X)=(X— Xe)(X — XeP)...(X — X" ") [mod. p, F(=)],

et, après avoir effectué le produit des binômes contenus
dans le second membre de cette formule, on aura une
expression de 7(\> de laquelle la vartable x aura disparu.

On pourra former de cette manière toutes les fonctions

 

. ; Ÿ ; É v —
irréductibles dans lesquelles la fonction xP X peul
être décomposée.

Si l’on désigne par Æ l’exposant auquel appartient X{,

on aura
Xte=1 [mod. p, F(=)],

d’où il résulte que ke est divisible par p'—1= mn, el

que, par suite, k est un multiple de n; mais comme la

S. — Alg. sup., 1- 12