SECTION III. — CHAPITRE IIT. 173

367. Tuéonème I. — Si P(X) est un polynôme du
degré m dont les coefficients soient des nombres entiers,
et dans lequel le coefficient de X"" ne se réduise pas à
zéro, suivant le module p, on pourra trouver une fonc-
tion irréductible F (x) suivant le module p telle, que la
congruence

®(X)=0 [mod. p, F(æ)]

ait m racines.

En effet, décomposons le polynôme ®(X) en facteurs
irréductibles suivant le module p; soit

e(X)=e, (X) #,(X) ?3 (X). . = (modAl}

et désignons par n4, Moy M3y <… les nombres inégaux
par lesquels on peut exprimer les degrés des polynômes
irréductibles P,, ®,, .. .. Chacun de ces facteurs divi-
sera, suivant le module p, l’une des fonctions

ex TX RP T00

si donc v désigne le plus petit nombre divisible à la fois
par n4, , - «, les mêmes polynômes diviseront aussi

xr— X.

Par conséquent, si l’on prend une fonction irréduc-
tible F(x) de degré », chacune des congruences

®14 =0

fSCNv =
PEs [mod. p, F(æ)]
+,(X)=0

...

aura (n° 366) autant de racines qu’il ya d’unités dans
son degré, et il s’ensuit que la proposée aura elle-même
autant de racines égales ou inégales qu'il y a d’unités

dans son degré.