[72 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

si,après la substitution de f (æ) à X, la fonction #(X)
est divisible par F(x), suivant le module p.

Le corollaire du théorème démontré au n° 343 peut
alors être énoncé comme il suit :

Une congruence du degré m, suiyant un module pre-
mier et suivant une fonction irréductible, a au plus au-
tant de racines qu'il y a d’unités dans son degre.

366. Tuéorème I. — Soient F(x) et #(x) deux fonc-
tions irréductibles suivant le module p» la première du
degré v, la deuxième d’un degré égal à v ou à un divi-
seur de v. La congruence

$(X)=0o [mod. 7 F(æ)]

a précisément autant de racines qu’il y a d'unités dans
son degre. ä
e

En effet, le degré de #(X) étant un diviseur de v,
on a '
xP—X=5(X)#(X)+pz(X),

$,(X)ety(X) étant des polynômes à coefficients entiers,
D'’un autre côté, la congruence

X— X=0 [mod. p, F(æ)]

a pour racines les p’ fonctions réduites de x, zéro com-
pris; d’ailleurs chacune des racines de cette congruence
appartient à l’une ou à l’autre des deux

$#(X)=o0; #([X)=o [mod. p, F(x)],

\ )

et si l'une d’elles avait moins de racines qu’il n’y a
d’'unités dans son degré, 1l faudrait que l’autre en eût
plus qu'il n’y a d'unités dans le sien, ce qui est impos-
sible. Le théorème énoncé est donc établi.