SECTION III, — CHAPITRE III. 169

d’où il résulte que, si l’on substitue chacune des n fonc-
tions (1) à X dans la fonction

n
X”—1,

on obtiendra » résultats qui seront divisibles par F(x)
suivant le module p; done, d'après la proposition du
n° 345, il n’existe aucune fonction réduite autre que les
résidus des fonctions (1) dont la puissance n* soit divi-
sible par F(x) suivant le module p.

Désignons maintenant par 7n l’exposant auquel appar-
tient X“, c’est-à-dire le plus petit nombre tel, que l'on ait

5 x =T mod. p, F(x)1.
Î Ë ‘ ] \ 4

La congruence (2) exige que » soit un multiple de m;
inversement, comme X, appartient à l’exposant », la con-
gruence (3) exige que me soit un multiple de n, et, par
suite, que æ soit divisible par n, lorsque e est premier à n.
Donc on am= n, dans cette hypothèse; ainsi X< ap-
partient à l’cx13osant n lorsque e est premier à n. Mais,
si net e ont un diviseur commun 9 >1, on aura

n e m
{Xfi°=(XÊ> =1 [mod.p, F(æ)];

et, par conséquent, X* n’appartient pas à l’exposant n.
Si donc il existe des fonctions réduites appartenant à
l’exposant n, le nombre de ces fonctions est égal à o(n),
© (n) indiquant, comme à l’ordinaire, combien 1l y a de
nombres premiers et non supérieurs à m.

Cela posé, toute fonction réduite appartient à un expo-
sant qui est l’un des diviseurs

=

Hl

de p’—1, Si donc on nomme V(n) le nombre des fonc-

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