SECTION IIL. — CHAPITRE II. 167

module p, on aurait
x" — X”"=0o ‘ [mod. p, F(=)],

ce qui est contre l’hypothèse. En outre, les quantités (2)
sont distinctes de (1); car si l’on avait, par exemple,

x"" X,= X"" [mod. p, F(=}],
; eq Es r
on aurait, en multipliant par X" ",
XnXIEX”-'—n’+1L” ou X1= ga—nt-+nl [mod. P, F(r)],

ce qui est encore contraire à l'hypothèse.

Il résulte de là que p’— 1 est égal ou supérieur à 2n.
Si p'—1 est >an, soit X, une valeur de /(x) non
comprise parmi les résidus minima des suites (1) et (2).
En multipliant les fonctions (1) par X», on obtient les
nouvelles fonctions

(3) X9, XX5, X?X,, ..., X”" Xe.

Le raisonnement que nous venons de faire prouve que
les résidus minima de ces fonctions (3) sont différents
entre eux et distinets des résidus fournis par la suite (1);
1l est aisé de voir qu’ils sont aussi distinets des résidus
de la suite (2); car si l’on avait, par exemple,

25 =
X"" X,= X" X, [mod.p, F(æ)],
respé SL S 2 ‘

en multipliant par X"7", il viendrait
X*X,= X"" X, ou-X,=Xx"=" Xx (mod n F(=)],
ce qui est contre l'hypothèse.

Il résulte de là que p’—1 est égal ou supérieurà 3 n. Et,
en poursuivant ce raisonnement, on voit que p’— 1 est

nécessairement un multiple de n.

Di n est le plus petit nombre tel, que l’on ait

X”=1 [mod.pn, F\')l?