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166 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

n’a que p’—1 valeurs distinctes, il faut que quelques-
unes de ‘ces valeurs se trouvent reproduites une infinité
de fois dans la série des puissances de X. Supposons que
l’on ait ,
X”+r= X"" [mod. p, F(æ)],
ou
X” (X"—1)=0 [mod. p, F(x)].
/ < E e ;
Comme X” ne peut être divisible par F(x), suivant le
module p, il faut que l’on ait
X*==1 - {mod.p5 Fla)L
et, par suite,
xXP=1, X P=EI, …. [mod. p, F(æ)].
Il y a donc une infinité de puissances de X congrues à
l’unité. Soit n le plus petit nombre tel, que l’on ait

X?=1 [mod. p, F(æ)],

on aura ces n valeurs de f(x) dont les résidus minima
seront distincts, savoir
(T) X 27 X

Si l’onap’—1= n, la suite (1), ou celle de ses résidus
minima, comprendra toutes les valeurs de /(x').

Sil’ona p’— 1 > n, soit X, l’une des valeurs de f(x

p , J

qui ne sont pas comprises parmi les résidus minima de
la suite (1); en multipliant les fonctions (1) par X,, on
obtient les nouvelles fonctions

(2) X45 XX,, X?X,, .++, X"* X,,

dont les résidus minima sont distinets; car soient n°et n”

deux nombres inférieurs à n; si l’on avait
X""X, — X""X,=0 [mod. p, F(æ)],

comme X, ne peut être divisible par F(x), suivant le