SECTION III. — CHAPITRE III. 163

Sur une fonction irréductible du degré p, suivant le

module p.

360. La méthode que nous avons exposéeaun° 351 pour
former les fonctions irréductibles n’est guère susceptible
d’être appliquée ; aussi doit-on attacher quelque impor-
tance aux théorèmes qui précèdent et qui permettent de
former directement une fonction irréductible de degré À,
lorsque le nombre À ne renferme que les facteurs pre-
miers du module diminué de l’unité; on verra effective-
ment plus loin que la connaissance d’une fonction irré-
ductible d’un degré quelconque, suivant un module
premier, suffit pour qu’on puisse former directement
toutes les autres fonctions irréductibles du même degré.

Je présenterai encore ici une proposition qui fait con-
naître une fonction irréductible du degré premier p,
suivant le module p.

Tuéonème. — Si le nombre g n'est pas divisible par
9 est irre-

 

le nombre premier p, la fonction xP— x
ductible suivant le module p.

En effet, soit F(x) un facteur irréductible, suivant le
module p, de la fonction dont il s’agit. On aura

æP—x—g=F(x)e(æ) (mod.p),

@(x) étant un polynôme à coefficients entiers. On tire
de là

æP=x—+ g +F(x)e(x) > (mod. P)»
et, en élevant les deux membres à la puissance p”-!,

mt

aP* S 4P + g + F(x)p(x) - (mod. p),

e

9(x) désignant encore ici un polynôme à coefficients
entiers.