SECTION I. — CHAPITRE Irr, 161

nous savons d’ailleurs que
*
(uP+c'1’)= (u+o)P+lîz(u, e);
et il estévident que 7 (u,v) est divisible par u+v, en
sorte qu’on peut écrire

{u”+v")={u—}—v)”—p(u—i—o)f}(u, V),

f étant un polynôme à coefficients entiers. En égalant
entre elles les deux expressions du produit que nous
considérons, après avoir supprimé le facteur u + p, on
obtient l’identité suivante :

p=1
(1) (u+v)"‘1 + (uv) ? = (uËi_l +— u2i—i) F (u, 9) + PpF(u,e),

 

où f et f sont évidemment des polynômes à coefficients
entiers, fonctions symétriques des variables u et v.
Remplaçons maintenant u et v par les deux racines
de l’équation
X3—EX —I= o,

où E désigne une nouvelle variable; toutes les fonctions
symétriques entières de u et v, à coefficients entiers,
deviendront des fonctions entières de E, dans lesquelles
les coefficients seront encore entiers; la formule (1)
donnera donc

(2) EP—1——I=E(‘:ÇÏ

en posant

ou

 

s-[e,

eten désignant par (E), X (E) des polynômes à coeffi- \
cients entiers.

N e
+
L
‘
+
F QeN
» 1w
|
e

() Ey=[E+

S. — Als. sup., 1I, “LE