SECTION III. — CHAPITRE III. 159

elt,s étant des nombres irnpai1‘s; si, en outre, on désigne
par k le plus petit des nombres i, j, la fonction binôme

x"— 2* est réductible suivant le module p, et elle se dé-

 

L ë !
compose en 2}* facteurs irréductibles du degre —
ys

p—1
d

 

qui, tous, appartiennent à l “exposant À

Ce théorème nous fait connaître, sans aucune excep-
tion, toutes les fonctions binômes irréductibles suivant le
module premier p. En effet, la fonction x*—g° (mod.p)
ne saurait être irréductible si À et e ont un diviseur

commun. En outre, si À contient un facteur premier 4 qui

 

ne divise pas p—1, la congruence x'—g°=0 (mod.p)
aura une racine et par suite x*—g° admettra suivant le
module p un diviseur de la forme x—@; il s'ensuit

X
que x’—a sera pareillement un diviseur de .7c*—g°’.

359. Lorsque p est un nombre de la forme s#t—1 où à
estau moins égal à 2 et où t est un nombre impair, 1l
n’existe de fonctions binômes irréductibles de degré },
ainsi qu’on vient de le voir, que dans le cas où À est im-
pair ou double d’un impair. Mais, quel quesoit le nombre
pair À, pourvu qu’il ne renferme que les facteurs pre-
miers par lesquels p—1 est divisible, on peut former
facilement des fonctions trinômes de degré À irréduc-
tibles suivant le module p.

En effet, lenombre p étant, par hypothèse, de la forme

]):2it— I,

et t étant impair, posons

 

= 2"_1)\,

le nombre v sera divisible par 2°, car À est pair. Ensuite,

si g désigne une racine primitive de p et que e soit un