SECTION III. — CHAPITRE INI. 149

renferme une infinité de nombres premiers. Soit
p=a+in
; : ; u—
l’un de ces nombres premiers; la fonction —— est
æ —E

irréductible suivant le module p; donc, à plus forte
raison, elle est irréductible algébriquement.

Comparaison des fonctions entières irréductibles sui-
vant le module p, qui appartiennent à des exposants

formés des mémes facteurs premiers.

355. Lorsque n est divisible par le module p, si l’on
fait n = pn/, on aura

a"— =(" —1)P (mod. p),

en sorte que la fonction x? — 1 est ramenée à x”"— 1.
Nous supposerons que æ n’est pas divisible par p ; alors,
si l'on désigne par v le plus petit nombre tel, que p*— 1
soit divisible par n, la fonction x?—1 divisera xP*— x
suivant le module p et chacun de ses facteurs irréduc-
tibles sera, comme on l’a vu, d’un degré égal à v ou à un
diviseur de v. Mais ceux de ces facteurs qui appartien-
nent à l'exposant n sont tous du degré v, et nous avons

o|m])
Î

 

vu que leur nombre est égal à » Q ayant la signifi-

,
cation habituelle.

Cela posé, désignons par u le plus petit nombre, tel
que p*— 1 soit divisible par chacun des facteurs pre-
miers qui divisent n, il est évident que v sera un multiple
de p ;-car soit y=pq+7; les facteurs premiers de n
divisent par hypothèse p#rtr— 1 et p&#g—1, qui est un
multiple dc./)”—1; ils divisent, par suite, la différence
p*1*"— p#4 ou p*1(pr—1). Mais cela est impossible, à

r