r45 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

en prenant les restes de la division par F(x) des puis-
sances
x, x?, x,..., xPA,

En effet, deux de ces puissances, x* et x"+, divisées
par F(x), ne peuvent donner des restes de degrés y—1
congrus suivant le module p ; car autrement l’expression

at+m — p" Qù X(x —1)

serait divisible par F(x) suivant le module p, et il en
serait de même de x” — 1 : or cela estimpossible, puisque
n est moindre que l’exposant p’—1 auquel appartient

354. J'indiquerai ici une conséquence assez remar-
quable de la théorie que nous venons d’exposer et qui
consiste dans la proposition suivante :

Tuéorème. — Si n est un nombre premier, que a
soit une racine primitive de n, et que le modu[«p soit de
la forme a + kn, la fonction

a—1

=

x—1
sera irréductible suivant le module p.

En effet, n est un nombre premier ; il est d’ailleurs di-
viseur propre à p"7! — 1, puisque p — An est une racine

primitive de 7; donc le nombre des facteurs irréducti-

e E r ; o(n $
bles de V, suivantle module p, est ic1 égal à L baût.
n
“ 7 ; . ; -E
CororLAImE. — Si n est premier, la fonction ——
; ,,

est ALGÉBRIQUEMENT rréductible.

En effet, soit à une racine primitive de n. L’illustre
Lejeune-Dirichlet a prouvé que la progression arithmé-
tique

a, a+n, a+2n, à+3n, <…