SECTION III. — CHAPITRE III. 145 -

si l’on désigne par 9 le plus grand commun diviseur des
nombres p’— 1 etn, et puisque F(x) appartient à l’ex-
posant n, il est nécessaire. que l’on ait 9=n. On voit
aussi que n doit être un diviseur propre à p’— 1, c’est-
à-dire que » ne peut diviser p*—1 si u est C v; car s’il
en était autrement x?— 1 serait un diviseur de xP*+ __ ,
et cette dernière fonction serait par suite divisible par
F(x) suivant le module p, ce qui est impossible dans
l’hypothèse de y < v.

Cela posé, nous nous proposons de déterminer le
nombre des fonctions entières de degré v, irréductibles
suivant le module premier p, et qui appartiennent à l’ex-
posant n diviseur propre de p'— 1.

Le nombre n étant décomposé en facteurs premiers,
soit ‘

1= qÎl qî=. ; .qZ;fl,
J1> J2> <> Ym étant des nombres premiers inégaux;
posons aussi

nN

z L e
e <.z:'/l — |) (.r‘/î — [) . (.7“/… —|>_

n (S ue n
Xî — <_7:’/1'/‘) __1> \Æ‘]l'/« _1> EUN <,y—f]m—1//m __1)’

n
X… — ('L_l/1 Ga--Jm — I >7

la fonction X4 sera, comme on voit, le produit de
m(m—1)...(m—k+1)
12

 

facteurs qui se déduiront de

n
mn ÎK

x *— 1 en prenant pour 6; les produits k à Æ des facteurs

J4> 425 <-+, Gm- S1 l’on désigne enfin par V le produit de
e ; - â Lx i

toutes les fonctions entières de degré v, irréductibles

S. — Alg, sup., IL. 10