SECTION III. — CHAPITRE II. 137

car l’exposant p?— 1 est un multiple de p'—1. Donc
aP“— x est divisible, suivant le module p, par S A
Mais, par hypothèse, la fonction xP*— x est elle-même
divisible par F(x), suivant le module p; donc il en sera
de même de la différence

<.r"” —- r) — <.1f””1 — .r) — qPT — gP*1,

d’après le lemme du n° 347, cette différence est congrue,
suivant le module p, à la puissance

. A Vq
DO PN u} 56
G5

et cette puissance ne peut être divisible par F(x) sui-
vant le module p, à moins que

ne le soit elle-même. Or cela ne peut être, comme on
l’a vu plus haut, que si ”= 0o, puisque r est inférieur à v.

Détermination du nombre des fonctions entières de
degre v irreductibles suivant un module premier p.

349. Nous sommes actuellement en mesure d’établir
qu’il existe, dans chaque degré v, des fonctions entières
irréductibles suivant un module premier p; il est même
facile, comme on va le voir, de déterminer le nombre
de ces fonctions.

Considérons la fonction xP’— x, et supposons-la dé-
composée en facteurs irréductibles suivant le module
premier p, de manière qu’on ait

F(æ)F,(æ) F,(x)...=æ""—= +Px(=),

Fia), Pa(æ) F,(x), ... étant des fonctions entières
irréductibles suivant le module p, et % (æ) une fonction
entière quelconque.