SECTION TI, — CHAPITRE III. 135

ou

f(ær)=[f(æ)]}+px(æ),
%(æ) étant une fonction entière.

0> TS —1 F ? -
Si l’on écrit xP”7° au lieu de x, il vient

flar®)=[/(a"")}P + pa(æ),

/

4 (x ) désignant ici une nouvelle fonction entière. Cela
posé, admettons que l’on ait

flart*) = {f(æ)p* + px(æ)s

en élevant cette égalité à la puissance p, et ayant égard

à la précédente, il vient

\ p
f(.(?"”) — {y_/(.’l‘)]”” +p/_{r)
Donc, si cette dernière égalité a lieu pour une valeur
de l’exposant n, elle a lieu pour la valeur immédiate-
ment supérieure; d’ailleurs elle a été démontrée pour
n=1, donc elle est générale.

348. Turorème IM. — Une fonction entière F(x) du
degré v, irréductible suivant le module premier p, ne
divise la fonction xP” — x, suivant ce même module,
que dans le cas où » est un multiple de v.

Je dis en premier lieu que, si l'on a y < v, la fonc-
tion x* —x n’est pas divisible par F(x) suivant le
module p, c’est-à-dire qu’on ne peut avoir

(1) x.

p(x) et ÿ(x) étant des polynômes à coefficients entiers.
Admettons, en effet, que cette égalité (1) ait lieu, et
2 8

“—.7::F(m)ç(.z‘)+1)Z(:v), ;

Î)OSOHS
f{1\ = 4 +a,x +ax+..+ à XTN

do, @, -. . étant des entiers quelconques compris entre