ag e COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

F(x) suivant le module p, mais il est évident que la

formule (4) subsiste quand f (x) est un multiple de F(x).
La formule (4) ayant lieu, quelle que soit la fonction

entière /(x), prenons f(x)= x, il viendra

(5) æ" —x=F(z)p(xæ) (mod.p), ë

ce qui démontre le théorème énoncé.

347. Lemme. — Soient f (x) une fonction entière de
la variable x,p un nombre premier etn un nombre
entier quelconque; on a

f(_.rP" )= [f(.r)]”” +[)x(.r),
4 (x) désignant une fonction entière.
Soit
f(xæ)= % + a,% + a20*+.,.+ A X" ,

la puissance p'ê"e de f(x) renfermera d’abord les'puis-

ièmes

sances p des différents termes; elle renfermera

en outre d’autres termes contenant certaines puissances
de plusieurs termes de /(x); le coefficient de l’un quel-
conque de ces derniers termes aura la forme

I1.2.>..P

Ln 04<n> {125 . -G4)

G13 J23 ++., Gx étant des nombres inférieurs à p; ce
coefficient est donc divisible par p et l’on a

A =)} + p 7(a)=at-+ apar+ afatr 4. —apæne,
mais, par le théorème de Fermat, on a

aer=a (mod.p);

donc

(æ)1P + p x (æ) = à + auæP + a,x®P 4.2 . 4+ apa”"P