128 COURS D'ALGEBRE SUPÉRIEURE.

si aucun des exposants 7;, /29; , Tn N'est un multiple
de p, le facteur entre parenthèses n’est divisible, suivant
le module p, par aucun des facteurs irréductibles X,,
x. , k,icar, pour qu’il fût divisible par X,, parexem-
ple, il faudrait que X, divisät l’un des facteurs du pro-

duit

or ccla est impossible, puisque X5», X3, …, X,, sont irré-
ductibles et différents de X,, et que le degré de X" est
inférieur à celui de X,. Le produit des facteurs irrédue-
tibles communs à ®(x) et à sa dérivée est donc

x . ;x

Cmn

c’est le plus grand commun diviseur de ces fonctions,
suivant le module p, et pourl’obtenir on suivra la règle
ordinaire ennégligeant dans chaque division les multiples
de p qui se présenteront, et en avant soin de ramener à
l’unité le coefficient du terme le plus élevé de chaque
reste, avant de prendre celui-ci pour diviseur.

Si l’un des exposants, 7z, par exemple, est multiple
de p, le facteur X, entrera à la puissance n, dans le plus
grand commun diviseur.

Désignons par V, le produit de ceux des facteurs X,,
X», ... qui figurent dans ®(x) avec un même expo-
sant ,, par V le produit de ceux qui ont l'exposant n»,

et ainsi de suite; on aura
N VN ‘i’\I‘> +—p yy{\.r),

et, par un raisonnement identique à celui dont nous
avons fait usage au n° 50, on prouvera que les facteurs
V+, Va, V3, … peuvent être obtenus au moyen de sim-

ples divisions :1]gébriqucs.