SECTION III. — CHAPITUE III. 125

ou
1+px(e)=Ug(e)—V4[a);

ï

ce qu'il fallait démontrer.

342. Tuéonime II. — Si la fonction entière F(x),
irréductible suivant le module premier p, divise,
suivant ce module, le produit 9(x) v (x) (Ï(35‘jbnuli0n.s‘
entières (x ) et b (x), elle divisera l'un au moins des
deux facteurs.

En effet, si la fonction v (x) n’est pas divisible suivant
le module p par la fonction F(x), comme celle-ci est irré-
ductible, elle n’admet aucun des diviseurs que d (x) peut
avoir. On pourra donc trouver trois fonctions en-
tières P, U et V, telles que l’on ait

1725l F(7‘)—V#(r),
on a d’ailleurs, par hypothèse,
9 /Ï\}jf (z\ ——E(z)_/vr) == p /_/r),

f (x) ety (x) désignant des fonctions entières, et il vient,
en multipliant les deux égalités précédentes l’une par
l’autre,

9 (æ) V {æ) ta)F{2) 20F
[p(e)ÿ(æ) —F(æ) #(æ)](1+pP)= px («)[UF(æ) — Vy(a)],
ou

JJ(1\ : 9(æ) +p[P 9 \1) +—Vy(æ)] ; =—}h (1> : \r/\ +—p [Pf(1) +—U Zfî.l,‘):l‘ ;
Le polynôme F (x) divise donc algébriquement le pre-
mier membre de l’égalité précédente. Or, par notre hy-
pothèse, ce polynôme ne divise point Y(x), et il n’a en
conséquence aucun facteur commun avec V (x), puisqu’il
est irréduetible; donc 1l divise la fonetioa

p(=) +P[P4(æ) +Yz(æ)],