SECTION III. — CHAPITRE II. 109

La comparaison des formules (11) et (13) donne

ÉÉN
y.+v=£-——l— (mod. 2);
2 2 J

 

d’ailleurs on a, par les formules (4)et (12),

p-er()

P d d e E
v 2s [P
Cs

ce qui est la formule que nous voulions établir.

 

“ Remarque. — Il faut remarquer que le nombre — 1
est résidu de tous les nombres premiers 4i +1, et qu'il
est non-résidu des nombres premiers 4{ + 3.

On a effectivement, par la définition du n° 311,

..

cette égalité est d’ailleurs comprise dans notre for-

 

mule (8); car, si q =— 1, chacun des termes du second
membre de cette formule se réduit à —1, et l’on a
p=et p

p= - = Tl (mod. »).

On conclut de là que la congruence
aæ+1=0 (mod.p)

est possible ou impossible suivant que p a la forme 4i+ 1
on la forme 4i +3. Si le premier cas a lieu, le nombre p
divise la somme de deux carrés, et il est, par suite, la
somme de deux carrés, résultat auquel nous a déjà con-
duit le théorème de Wilson.