102 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

Théorème de Legendre sur la loi de réciprocité qui
existe entre deux nombres premiers.

332. La loi de réciprocité découverte par Legendre

consiste dans le théorème suivant :

Tuéorème. — Si p et q sont deux nombres premiers
impairs quelconques, on a ‘

c -
( =0

à moins que p et q ne soient tous deux de la forme

 

en sorte que

4k 3; on a dans ce dernier cas

L-

La démonstration que nous allons présenter est due
à Gauss, et elle a été reproduite par Legendre dans le
tome II de sa Zhéorie des nombres. Nous établirons
d’abord le lemme suivant :

Soient p un nombre premier positif autre que 2,€t q
un entier quelconque non divisible par p ; les produits

q A

\

(1) q, B4s 3q, <,

 

2

. cr L;
donneront, suivant le module p, L" restes différents
2 =

Prst

 

 

I - u
e — » et si l'on

2 2
désigne par y le nombre de ceux de ces restes qui sont

=c

compris entre les limites — !

négatifs, on aura