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SECTION IIIs — CHAPITRE 1f. ror

ou, pour abréger,
(3) a?+ Ô'2+C’2+d'2:p/)”_

Cette équation (3) a la même forme que (1), seule-
ment p” est <p'. Si l’on a p"= 1, l’équation (3) montre
que p est la somme de quatre carrés, et le théorème est
démontré. Sinon, en opérant sur l’équation (3) comme
aous avons fait sur l’équation (1), on obtiendra une
nouvelle équation de la forme

a”? 4 b”2 S C”2+ dfl2=[)])'”,

où l’on aura
I)”’ < I)”;

et l’on peut continuer de cette manière jusqu’à ce qu’on
obtienne une équation de la forme

a(n)2+ b(n)2 +c(lz)2 — d(/z)2=l),
ce qui arrivera nécessairement, puisque les nombres
P’, ])”, ]]/Il, e

sont des entiers qui vont en décroissant; d’où il suit
enfin que le nombre p est la somme de quatre carrés.

CororLAIRE. — Zout nombre entier est la somme de
quatre ou d’un moindre nombre de carrés.

En effet, tout nombre premier (n° 330) divise la somme
de quatre carrés premiers entre eux ; il est donc lui-même
la somme de quatre ou d’un moindre nombre de carrés.

En second lieu, un nombre entier quelconque est le
produit de plusieurs facteurs premiers; chacun de ces
facteurs est la somme de quatre carrés; donc leur pro-
duit (n° 243) est lui-même la somme de quatre carrés.