100 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
et désignons par H a, Æ b +ce, + d'les résidus mi-
nima des nombres A, B, C, D, de manière que a, b, c, d
3 = 5 D x
solent comnris entre zéro etl—; alors p divisera
2

a?° + b? + & + d?,
Posons

(1) a?>+ 624 cÀ + d = pp';
, : P / p
a, b, c, d étant moindres que => On aura pp <4(7) »ou
2

/
P <P.
Si l’on avait p'= 1, p serait la somme de quatre carrés,
et le théorème serait démontré; supposons done °> 1.
Comme, p divise a?+ 52 + c2 + d?, il divisera aussi la
somme des quatre carrés

(@e — ap‘)?+(à — 6p°)?+ (e — yp')*+(d— dp'}*,

et si l'on détermine , 6, y, d de manière que chacun

19

4

(2) (e—ap)*+(b—Ep } +(e—yp"+(d—0p'"?=p'p",

 

de ces carrés soit moindre que [ » on pourra écrire

avec
"
p <P'.
Multipliant ensemble les équations (1) et (2), et faisant
usage de la formule établie au n° 245, il vient

/

(ad — by + c6 — da)?p'*+ (ay + bd — ca — dé)?p'
+ (a6 — bo

 

cd+ (/')—Ï3])'/î

8 [(z2 + 62 c2 + d — (g« + 56+cy +[]'(;‘/,']2 —pnp";
divisant par 7‘?, et ayant égard à l’équation (1),on a
(aâ — by + c6 — (la)2+ ((z7 + bd — cu — de)?

+ (a6 — ba — cd +dy)?+(p — au — b6—cy— dd)*=pp”",