SECTION III. — CHAPITRE II. 95

nous en ferons cependant deux applications dont la pre--
mière a pour objet la démonstration d’un théorème im-
portant de Lagrange. Cette démonstration est fondée sur
le iemme suivant :

Lemme. — Si le nombre premier p est supérieur à 3
on trouve dans la suite

e (V 13

1° un résidu R suivi d’un résidu; 2° un résidu R' suivi
d'un non-résidu ; 3° un non-résidu N suivi d’un non-
résidu; 4° un non-résidu N' suivi d'un résidu.

En effet, soient F un non-résiduoude la forme 1, 3, .…,
(p—»), et y l’associé de B, c’est-à-dire un non-résidu.
Je dis que les successions

(8,B-++a) t ( 7 +1),

-

qui ont leur premier terme Ç et 7 non-résidu, sont con-

juguées. En eftet, à cause de

 

 

fy=1 (mod. p),

i AG1 ñ cs = (R
si B+1 est non-résidu, y+1=7+%=(é+ 1)ÿ,
(mod. p), 7 +1 sera le produit de deux non-résidus : il
est donc résidu. Si 4# + 1 est résidu, la précédente con-

gruence exprimc que y + 1 est non-résidu. On a donc

(1) ' N'=N.

Il y a lieu de distinguer le cas de p = 44 +1, etcelui
dep=—44+3-

Supposons p= 44 +1 et désignons par a, a', .. les
résidus et par b, b', ... les non-résidus. Dans le cas
que nous examinons et dont la somme égale p, deux

nombres sont résidus ou non-résidus; on peut done poser

p=a+a'=i;-—}—b‘.