92 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

et si n et n’ sont les indices d’un même nombre relatifs
aux bases respectives à et ', on aura

a”=—a" (mod. M),

ou
a”e=—a" (mod, M);

ce qui exige que l’on ait
'esr u w= Ï—; [mod. o(M)],
puisque e est premier avec ©(M).
Par conséquent, les nouveaux indices s’obtiendront en
divisant les anciens par l’indice de la nouvelle base relatif
au premier système.

327. Les propriétés des indices sont analogues à celles
des logarithmes ; elles découlent toutes de la proposition
suivante :

Tuéorème. — L’indice d’un produit de plusieurs fac-

teurs, pris suivant le module M, est congru, suivant le

module 9 (M), à la somme des indices des facteurs.

En effet, soient «, 6, y, . . . les indices des nombres À,
B, C, ..., dans le système dont la base est a. On aura

u0D OO (mod. M),
et, en multipliant toutes ces congruences, il vient
attfri+-= ABC.., (mod. M),

ce qui montre que l’indice minimum du produit ABC.….
est le résidu de a + 6 +— y —+...relativement à g (M).
On a donc

ind. (ABC...)=ind. A+ind. B+ind.C+... [mod. 9 (M)].

Cororrarmre I. — L'indice d’une puissance d’un nom-

bre, suivant le module M, est congru, suivant le module