SECTION III. — CHAPITRE II. gI

D'aprèscela, la recherche des racines de la congruence
proposée est ramenée à la résolution de congruences dont
le module est une puissance d’un nombre premier et au
problème dont nous avons donné la solution au a° 290.

Des indices.

326. L’existence des racines primitives, pour un mo-
dule M égal à une puissance d’un nombre premier im-
pair ou égal au double d’une telle puissance, entraîne
des conséquences très-importantes que nous devons pré-
senter ici. ;

Soit a l’une quelconque des racines primitives ; les
puissances de a donneront tous les nombres premiers au
module. Si donc N désigne l’un quelconque de ces nom-
bres, on aura, pour certaines valeurs de 7,

at=—N (mod. M).

Chacun des nombres z ainsi déterminés prend le nom
d’indice du nombre N, et la racine primitive « est dite
la base des indices.

Un nombre a une infinité d’indices, mais tous ces in-
dices sont congrus suivant le module €(M); on peut donc
se borner à considérer l’indice minimum qui est l'un des
nombres

o, 1I, 2, .. ., p(M)—1.
Il est évident que l’indice minimum de l’unité est zéro.

Si l’on a calculé les indices des nombres N premiers
à M, au moyen de la base a, et que l’on veuille prendre
pour base une autre racine primitive a’, on pourra
obtenir facilement les indices qui se rapportent à cette
base. Car soit e l’indice de la nouvelle base , dans le
premier système ; on aura

a'=a“ (mod. M),