SECTION Il. — CHAPITRE IT. 89
v étant >2. Chacune de ses racines a est telle que l’on a

v—2
t a’

a—w =1 (mod. 2*)

l’exposant auquel @ appartient divise donc les nombres (
et 2**, ainsi que leur plus grand commun diviseur; nous
désignerons par 2° ce plus grand commun diviseur, et

alors à sera racine de la congruence
25 .
(2) æ— 1=0 (mod. 2");

réciproquement la proposée admettra toutes les racines
de la congruence (2). Il est évident que celles-ei ne sont
autre chose que les nombres qui appartiennent à l’un des
exposants

Si t est un nombre impair, on ad=0 et les con-
gruences (1)et(2) n’admettent pas d’autre racine que r.
Supposons d >0o; nous avons vu que, siy est >1, il y

O S ® e » n - , T A u ,
a 2% nombres qui appartiennent à l’exposant 2*, et qu'il
y a 3 nombres appartenant à l’exposant 2; le nombre des
racines de la congruence (2) est donc

130 TRN 0N

ou 2**. On a ainsi cette proposition :

Tatorème..— Si t'est un nombre pair, le nombre des
racines de la congruence x*—1=0 (mod. 2") est e'gal
au double du plus grand commun diviseur des nombres t
et'aYs*;

Ces racines formeront deux périodes; car désignons

v—2

parcun nombre appartenant à l’cxpusant 2°7*, et posons

9yv—2

s55
a—=c (mod. 2*),

il est évident, d’après les développements qui précèdent,