SECTION IIl. — CHAPITRE II. 81
divisible par p* que sil’ona

p=t
2

a? +1=0 (mod. p*).

 

Coror1arne. — Le nombre des racines primitives, pour
le module p”, est égal à 9[p*(p —1)] ou à ç6(p”).

En effet, d’après le théorème I, chaque racine primi-
tive de p’ est racine primitive de p; d’ailleurs, d’après le
précédent théorème, chacune des ç(p—1) racines pri-
mitives de p donne ÿ (p”7!) racines primitives de p’. Le
nombre total de ces dernières est donc

e(p")e(p—1)=e[r"(p—11=r9(r").

320. Tuforèmr IV. — Le nombre premier p étant
impair, toute racine primitive impaire de p* est en même
temps racine primitive pour le module 2p”; et récipro-
quement, toute racine primitive de 2p” est racine pri-
mitive pour le module p’.

Soit g un nombre impair non divisible par p, et dési-
gnons par n, n les exposants auxquels g appartient rela-
tivement aux modules respectifs p*, 2p”; on aura
(1) gr=1 (mod.p), g"=—1 (mod. 2p”).

La seconde de ces congruences donne

(2) g"=1 (mod. 7’)

et, par conséquent, »" est un multiple de z. En outre,
g étant impair, ona g?=1 (mod. 2); par conséquent, la
première des congruences (1) donne aussi

gr=1 (mod. 2p’),

d'où il suit que 7 est un multiple de n°. Onadonen = n',
S. — Alg. sup., I. 6