SECTION III, — CHAPITRE II. 77

second lieu, lorsque p=4k+3, sia satisfait à la con-
p
gruence x * =1 (mod. p), le nombre —a satisfait
PS ;

àx * =— 1 (mod. p); donc l’un au moins des nombres

a et — a n’est pas racine primitive.

Des racines primitives dans le cas où le module est égal
à une puissance d’un nombre premier impair, ou

égal au double d’une telle puissance.

317. Tuéonème I. — Si p est un nombre premier im-
pair,et queg soitune 7‘acineprinzitivc pour le module LS
> oùu son résidu minimum, relativement à p, sera egale-
5 , 5
ment racine primitive pour le module p.

« .

En effet, désignons par » l'exposant auquel appar-

tient g, relativement à p, On aura
C
gr=1 (mod.p),

ou
g* =1+ kp,

k étant unentier. En élevant cette égalité à la puis-

sance p, 1l vient
[
D Dus= T
g””::x—Æ—Ü—/Ï‘p—ä-—l———-—U )À"2p‘l+...;
I Li2
dansle second membre de cette formule, tous les termes,
à l’exception du premier, sont divisibles par p?; on a done
app=— e K p>,

k, étant un nombre entier. On trouvera de même, par
des élévations successiyes à la puissance p,

2
g"” =—Ii+ Â._,])3,