72 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURT.

ainsi. Désignons par n l’exposant auquel à appartient, et
par m celui auquel appartient 5; comme les restes de la
suite (1) comprennent tous les nombres quiappartiennent
à l'exposant n, et, pour la même raison, céux qui appar-
tiennent à un exposant sous-multiple de n, le nombre m
ne sera pas un diviseur de n. Mais il peut être un mul-
tiple de n, et, quand ce cas se présente, la connaissance
de baura avancé la solution de la question, car ce nombre
appartient à un exposant plus élevé que celui auquel à se
rapporte. Supposons que m ne soit égal ni à p—1nia
un multiple de n; désignons par sle plus petit commun
multiple de » et m, etdécomposons ce nombre s en deux
facteurs premiers entre eux n’, m, qui divisent respee-
tivement les nombres n et m. Voici comment cette dé-
composition peut être effectuée : on décomposera les nom-
bres » et rn en leurs facteurs premiers; soit c l’un de ces
facteurs premiers destiné à entrer dans s avec l’exposant y.
Si c* est diviseur de n seul, on fera figurer c* dans n’; si
cY est diviseur de m seul, on introduira au contraire c*
dans m'; enfin, si c* est diviseur commun de m et de è,
on introduira c" à volonté, soit dans m', soit dans n°: on

agira de même à l’égard des autres facteurs premiers des.

 

On aura ainsi s S n'm', avec n=n'e, m= nl f,e et f
étant des entiers. Cela posé, je dis que le nombre «“ appar-
tient à l’exposant n’, relativement au diviseur p ; en effet,
la puissance n'ième de a° est a”, et elle donne en consé-
quence le reste 1; 1l n’y a pas d’ailleurs d'exposant v in-
férieur à n tel que (a®)” ou a*° donne le reste 1, puisque
ve est inférieur à n et que a nppm‘ti0nt à lï*\p(>>;tt;l n.
On ferait voir de même que bf appartient à l'exposant ,
et il en résulte (n° 307) que le produit a°. 57 ou le résidu
de ce produit appartient à l’exposant m'n'= s.

La méthode que nous venons d’exposer conduit, dans

tous lCS Cas, à un IIOIUL‘I‘C (Illi HI)pîll‘liL‘llt à un L‘XPOSLU]ÎÇ