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54 COURS D'ALGÈBRE SUPÉRIEURF.

seront distincts et chacun d’eux sera la racine de la con-

gruence,
(>) at— 1=0 (mod.p);

car l’hypothèse
a?=1 . (mod. p)
entraine

\

(9). a” =1 (mod.p), ou (a°)*—1—0 (mod. p),
e étant l’un quelconque des nombres
O, 1I, 2, <.., &R—TE;

donc, d’après le théorème du n° 298, la congruence (2)
n’a pas d’autres racines que les résidus des puissances
contenues dans la suite (1). Par conséquent, s’il existe
des nombres, autres que a, qui appartiennent à l’expo-
sant z, chacun d’eux doit être congru, suivant le mo-
dule p, à une puissance telle que a°.

Désignons par m-l’exposant auquel appartient a°;
d’après la congruence (3), n sera un multiple de m; on
a d’ailleurs

)  (af)?Z1 (mod.p) ou a”°—; mod.),
|  (@) ( P) \ /

et comme à appartient à l’exposant n, il en résulte que
me est un multiple de n. Cela exige que m soit un mul-
tiple de n, quand e est premier à n; les nombres m et n
étant alors divisibles l’un par l’autre, ils sont égaux
entre eux. Donc a° appartient à l’exposant n, si e est
premier avec n; mais, si les nombres e et n ont un divi-

seur commun 4 supérieur à 1, la congruence
/ (')h‘
R
/ =— )
({1 =1"  (mod.p)
peut s’écrire

=1 (mod.p),