SECTION III. — CHAPITRE IL. 53

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si v est >2, eten conséquence @ nest pas racine prI
mitive.

Il résulte de là qu’il ne peut exister de racines primi--
tives que dans les trois cas suivants :

1° Si le module M est un nombre premier impair ou
une puissance d’un nombre premier impair ;

9° Si le module M est égal au double d'une puis-
sance d’un nombre premier impair ;

3° Si le module M est égalà 4.

Dans le cas de M = 4, on a 0(M) = », et le nombre
— 1 ou 3 satisfait évidemment à la définition des racines
primitives. Le cas où M est une puissance de 9 supé-
rieure à 4 mérite une attention particulière, bien qu’il
n’y ait point de racines primitives, dans le sens que nous
attachons à ce terme.

Des racines primitives, dans le cas où le module

est un nombre premier impair.

306. Lorsque le module M se réd uit à un nombre pre-
mier impair p, on a o(M)=p—1. Dans ce cas, 1l
existe toujours des racines primitives et il est facile d’en
déterminer le nombre par le théorème suivant, dont nous
empruntons la démonstration à Gauss :

Tnéonème. — Si le nombre p est premier, et que n
désigne un diviseur quelconque de p—1, il y aprécise-
ment ©(n) nombres qui appartiennent à l'exposant n;
le symbole ÿ(n) exprimant combien il y a de nombres
premiers et non supérieurs à n.

Supposons qu’il existe un nombre a appartenant à
l’exposant n, suivant le module p ; les résidus des puis-
sances

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