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46 COURS D'ALGÈBRE SUPÉRIEURF.

Nouvelle démonstration du théorème de Wilson,

f . .
JU2. Si p est un nombre premier, la congruence

t es p (P —1
(e—1)(=—3) À.r—3/…..\.æn—p—,—n) —(ærter)

Il
©
{::_3,\
=
=

admet les p—1 racines
= €
1,2, 9 . <(p—1);

et, comme elle n’est que du degré p — », elle doit être
identique. Si donc on désigne par S, la somme des non--
bres 1, 9,4…., (p—1), par S, la somme de leurs produits
deux à deux, ete., par S,_, le produit de tous ces nom-
bres, on aura

S =0, S,=0, S,=0o, … Spy=—t,
suivant le module p. La dernière de ces congruences
constitue le théorème de Wilson.

Remanque. — Les coefficients de l’équation

(* —1)(x—2){x—3).. (æ—p+1)=0,

ordonnée par rapport à x, étant des multiples de p, à
l’exception du dernier terme, si p est yremier, la somme
' 3 f ,

des puissances mnièmes des p—1 racines
uUS (p—1)

sera divisible parp, à moins que m ne soit un multipie
de p—1. Cela résulte immédiatement des formules de
Newton.