44 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

ont pour coefficient l’unité, les racines communes aux
deux congruences

f(æ)=0 (mod.p), f(=)=0 (mod. P)

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sont les mêmes que les racines comimunes à
f.(r) =0" (mod.p), f(=)=0 » (mod. P)-

Soit Q le quotient de la division de f(x) par f1(x),
on aura
F(æ)=A(=).Q+h(æ),
et cette égalitéfait voir que, si f1(x) est divisible par p
en même temps que l’un des deux polynômes f{æy-et
f;(x), l’autre le sera nécessairement aussi : d’où résulte
la proposition énoncée. [

ConorLamne. — Les racines communes à deux con-
gruences
f(æ)=0,; f(»)=o (mod. p)
appartiennent à la congruence

c= ( )
p(x)=0 (mod.p),

9 (x) désignant leplus grand commun diviseur aux deux
polynômes f (x) c4.

Remanque. — Pour trouver ce plus grand commun di-
viseur (x ), on suivra la marche ordinaire; seulement
on négligera tous les termes qui sont multipliés parp. ll
faut, en outre, que toutes les divisions puissent se faire
sans écrire de coefficients fractionnaires. Pour cela, on
peut faire en sorte, comme il a été indiqué plus haut, que
chaque reste soit divisible par le coefficient de son pre-
mier terme, et alors on fera abstraction de ce diviseur
commun. On arrive aussi au même but en multipliant
chaque dividende par un facteur convenable, ou même
simplement en ajoutant au coefficient du premier terme

de chaque dividende un multiple de p tel, qu’après cette