SECTION ITI. — CHAPITRE I. 43

æP=1 — 1 + p F (x), p étant un nombre premier, la con-
gruence
f(æ}=0 (mod.p)

aura précisément autant de racines qu'il y a d'unités
dans le nombre qui exprime son degré.

En effet, d’après le théorème de Fermat, la congruence
(1) æp+— 1=0 (mod. p)
a les p — 1 racines
53 -3; > 1754
D'ailleurs, si l’on a
(a) æ>+_1+pF(s)=f(2)fi(=)

f (æ) etf1(x) étant des polynômes à coefficients entiers,
la congruence (1) peut se mettre sous la forme

f(æ)f1(=)=0o (mod.p),

et chacune de ses racines apparLient à l’une ou à l’autre
des deux

(3) f(=)=0; f

X

=—o (mod.p )-

—

Or, si l’une des congruences(3) avait moins de racines
? O \ /
u’il n’v a d’unités dans son degré, il faudrait que l’autre
q 3 or6; I
en eût plus «'1u’11 n’yva d’unités dans le sien, ce qui est

impossible ; le théorème énoncé est donc établi.

300. On peut déduire du théorême précédent un pro-
cédé très-simple pour déterminer le nombre des racines
d’une congruence de module prcmier. Démontrons d'a-

bord le lemme suivant :

Lemmr. — Si f2(x) désigne le reste de la division des
deux polynômes f (æ) et f (x), dont les premiers termes