42 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

Onvoit que, généralement, si chacune des congruences

esx e E p ° s0= ;
Te)=e fAi(x)=o .. Fm—s— ({æ) =0 (mod.p)
à une racine, et que la congruence
1110 «
Fm—#(æ) =0 (mod. P)
5 Ë ? ; L
n'en aitaucune, la proposée aura m—u racines. Si l’on
Suppose que ay, d», .…, @m_, SOIEent Ces racines, on aura
BR,=0o, R,=o, ..., Ry—y=0 (mod. p),
et la formule (3) donnera
(5) f(æ)=(x—a;) ( — à2)+ . . ( — Am_u) F (æ) (mod. p),

F (x) désignant une fonction entière du degré u, telle
que la congruence

e
F(x)=0o (mod. )
n’ait aucune racine.

Si le nombre y est égal à zéro, la fonction F (x) se
réduit à la constante A,, et la formule (3) donne

ce E SE , f ; ; ‘
(6) f(æ)=A,(x—a;) (æ — 4)..-(x—an) (mod. p),

d’où il suit que la congruence proposée ne peut avoir

pour racines que les m nombres ay, d>, …, Am-

CororLamre. — Si la congruence f(x)=0 (mod. p)
du degré m est satisfaite par plus de m valeurs de x,
elle est nécessairement identique.

299. Nous présenterons ici une conséquence fort im-
portante du théorème que nôus venons d’établir.

Tuéorème. — Si F(æ) et F(x)"sont des fonctions
entières à coefjicients entiers, dont les degrés soient infé-
rieurs à p, et que f (x) soit un diviseur de la fonction