œ
3

COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

Zhéorème de Fermat généralisé.
8

295. Le théorème de Fermat est susceptible d’être
étendu aux modules composés; il n’est effectivement
qu'un cas particulier de la proposition suivante :

Truéorème. — Si a et M sont des nombres premiers
entre eux, et que 9(M) exprime combien il y a de nom-
bres premiers à M et non supérieurs à ce nombre, la
dif'érence

aç…J__ I
sera divisible par M ; en d’autres termes, on aura

aM— 1=0 (mod.M )

La première des démonstrations dont nous avons fait
usage au n° 293 s’applique au cas actuel, avec de lé-
gères modifications. Soient

(l) RDV 0 m0s

les 9(M) nombres premiers à M et non supérieurs à M.
Si on les multiplie par le nombre a qui est également
premier à M, on obtiendra la nouvelle suite

(2) A UO TY UO 05 SUU

aucun terme de la suite (2), aæ par exemple, ne peut
être divisible par M; car M est premier à à et il est supé-
rieur à «; pour la même raison, la différence a (€— æ)
de deux termes de la suite (2) ne peut être divisible
par M, d'où 1l résulte que, si l’on prend les résidus mi-
nima, relativement à M, des termes de la suite (2), on
obtiendra © (M résultats différents. En outre, les nom-
bres (2) sont premiers à M, et en conséquence leurs ré-

sidus le sont aussi; cesrésidus sont donc précisément les