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SECTION III. — CHAPITRE I. 3r

DeuvxièmE pémoNsTRATION. — Si l’on élève à la puis-
sance p le binôme
(@e—1)+1,
dont la valeur est a, on aura

\ D,
ap=(a——1)l’—}—]Î{\a—|\"“1—\—...

/

—n 4 )
+P(P ‘)IË(LÀÎ_,Ë) (a—1)PF+. TS

dans le second membre de cette formule, tous les termes
sont divisibles par p, à l’exception du premier et du der-
nier, car le coefficient

pQ)——IÏ...{p———À‘—&—I)

\

 

est un nombre entier, et cet entier est évidemment divi-
sible par p si k est <p. On a donc
ar=(a—1)P+1 (mod. p),
et, en retranchant a, de part et d’autre,
ar —a=(a—1))— (a—1) (mod. p).
Cette formule montre que la différence ar — a n’est
altérée que par un multiple de p, quand on diminue a

d’une unité ; il en est donc de même quand on diminue a
de 2, 3,..., @ unités; on a, en conséquence,

ar—a=o (mod. p),
et, en divisant par a, nombre premier au module, il vient
ar— — 1=0 (mod. p).

Trorsième DÉMONSTRATION. — On a, quels que soient
les entiers u et v,

(e+op=ur+ P umios.….
I
p(p—1)...(p—FkF+1
+I_(Â__È_,q_(,]h__+) uP—k ph 4124 0P: