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30 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
a huit racines, savoir :

1, 13 fournies par la décomposition 2 < 12,

23, 11 » > 12 X 3,
77 19 » “ ‘-î—>< 67
I";, 5 » » 6>< 4_

Zhéorème de Fermat.

293. Le théorème de Fermat est l’une des proposi-
tions fondamentales de la théorie qui nous occupe ; aussi
croyons-nous utile de présenter ici les démonstrations
diverses qu’on en a données. Ce théorème célèbre est le
suivant : |

Tuéorème. — Si le nombre entier a n’est pas divi-
sible par le nombre premier p, la différence ap-!—1
est divisible par p; en d'autrestermes, on a

arst—= (mod. p).

Premrère DÉMONSTRATION. — Comme à et p sont pre-
miers entre eux, par hypothèse, les nombres

(1) a, 2a, 3a, ... (p—1)a

donneront, relativement à p (n° 283), les résidus

(2) s3375 (P —,

abstraction faite de l’ordre. Le produit des nombres (1)
est donc congru, suivant le module p, au produit des
nombres (2), et l’on a, en conséquence,

1.2.3...(p — 1)(a&—*—1)=0 (mod. p).

On peut diviser cette congruence par lde produit
1.2.3...(p—1) qui est premier avec le module, et
l’ona

art— =0 (mod. p),

ce qu'il fallait démontrer.