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28 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

ce qui montre que cette valeur de x répond aussi à la se-
conde décomposition. Il résulte de là que N est le nom-

P —n M ;
bre des decompos…ons de — en deux facteurs premiers
2

entre eux, et l’on aura alors
N= 2?,

comme dans le premier cas.

Supposons, enfin, que M soit divisible par la puis-
sance 2? de , p étant >r1, et désignons encore par n le
nombre des facteurs premiers impairs inégaux de M ou

M . Ë =
de Z Dans ce cas, on peut rejeter toute décomposition
M=—AB,

dans laquelle l’un des nombres À ou B serait impair. En
effet, supposons À pair et B impair; le raisonnement que
nous venons de faire, à l’occasion du cas précédent,
montre que la racine qui répond à la décomposition AB

; ; ; x A °
sera aussi donnée par la décomposition = < 2 B. Main-
}

tenant une décomposition de M en deux facteurs pairs
donne deux racines x qui sont nécessairement distinctes
de celles fournies par une autre décomposition de la même
espèce; car, dans chaque décomposition, les facteurs
doivent avoir 2 pour plus grand commun diviseur; donc,
pourobtenir toutes les décompositions utiles de M, 1l faut

; M ; : ; z
former celles de - etintroduire ensuite 2 dans le premier
2

facteur, 2* dans le second, puis inversement 2°-* dans
le premier facteur et 2 dans le second. Si p = 2, ces deux
dernières opérations rentreront évidemment l’une dans
l’autre.

Il résulte de 1X que, si p= 2, c’est-à-dire si M est divi-