26 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

Il importe d’examiner maintenant si l’une des racines
de la congruence proposée peut être donnée par deux
décompositions distinctes du module M :

M=—AB, M— A"

Désignons parz la fraction irréductible équivalente

aux deux fractions
Æ A
B° B"
lesquelles sont égales, en vertu de l’hypothèse AB= A' B';
on aura
« A — }e, A =—ua,

B= R = ub

‘
et, par suite,

R À
A, B= —-B

e

RS

sIR

À et y étant des entiers. Mais, si les décompositions con-
sidérées fournissent une même racine x de la con-
gruence (1), les nombres À et B ou A’ et B diviseront
respectivement x + 1 et x— 1 : donc ils ont pour plus
grand commun diviseur 1 ou 2; chacun des nombres À
et y est par suite égal à 1 ou à ». Il résulte de là que les
décompositions
M=-Ax2B, M=aeax!r
2 2

sont les seules qui puissent donner une recine x déjà
fournie par la décomposition M = AB.

Cela posé, 1l est facile de déterminer le nombre N des
racines distinctes de la congruence (1).

Supposons d’abord que le module M soit impair et dé-
signons par n le nombre de ses facteurs premiers inégaux.
Dans le cas dont ii s’agit, les décompositions M AB