16 COÏRS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

Des congruences du premier degré.

288. La congruence du premier degré
(1) ax+b=0 (mod.M) .
peut se mettre sous la forme
(2) ax+—b=My,

et la recherche de ses racines est ramenée à celle des so-
lutions en nombres entiers de l’équation (2) qui renferme
les deux inconnues x et y. Sia et M sont premiers entre

eux, l’équation ( 2) est toujoursrésoluble en nombres en-
tiers; on obtient une première solution Xo, Y0 (n° 13)

; ; a ; ; ; ;
par la réduction de n °" fraction continue ; après quoi
J
toutes les solutions sont données par les formules
EM e e at,

où # désigne une indéterminée. On peut disposer de cette
indéterminée de manière à obtenir une valeur de x com-
prise entre-zéro et M, et, si l’on représente cette valeur
par xo, les autres valeurs de x continueront à être don-
nées par la première des formules qui précèdent.

Il résulte de là que la congruence du premier degré (1)
n’admet qu'une seule racine, quel que soit le module,
lorsque le coefficient de l’inconnue est premier avec ce
module.

On arrive à la même conclusion au moyen du lemme
du n° 283 (C()u()LLAIBE). Effectivement, si l’on donne
à x les M valeurs

O, I, 2, ..., (M—1),

le premier membre de la congruence (1) prendra M va-
leurs incongrues suivant le modulé M; J’une de ces