SECTION IT. — CHAPITRE V. 645
Nous la désignerons par F(x),et nous allons montrer

(1U(‘

(4) E— 0s

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esl Ïéqua tion finale qui résulte de l’élimination de y entre
les équations proposées, En eflet, soit a une valeur de x
répondant à la question, c'est-à-dire telle, que les équa-

Lions
Mta, 70N3 0

alent au moiïns une racine commune; on a nécessaire-

ment, pour x — a,P=—0 et Q= 0o, et, par ‘suite,
F(x)= 0. Réciproquement, soit à une racine de
F(x)= 0; à cause dée
B” p — — l\"'"A”Q —F ;_,.)’
on a nécessairement P=oetO = 0 pourx = a, et, par
ë s; , . Q ! X = d, êts D

suite, les équations
M(a,y)=o, -N \(t,))=0

ont au moins une racine commune. Cela suppose toute-
fois que À et B ne soient pas nuls en mème temps, pour
x = a; mais il est évident que les équations proposées
admettent alorsla solution communex =a,y = œ. Au
surplus, on peut exclure ce cas particulier en changeant
infiniment peu les coeflicients des polynômes À et B sans
changer leurs degrés; d’où il suit que l’équation (4)
n'aura jamais de racine étrangère. Et cette considération
permet aussi de voir que, si A et B ont un facteur com-
mun, le polynôme F(x)sera divisible par ce facteur.
Lorsque les polynômes A, A,, .., B,B,. - . . sont cha-
cun le plus général possible de son degré, les équations (4)
et (2) n’ont pas de solutions multiples et ne peuvent ac-

quérir qu’une seule racine commune y pour chaque ra-