SECTION 1I. — CHAPITRE V. 633
ou, comme la quantité æ" f"(«) + f1(«) est nulle,
(4) a’'F'(a) +F,(a) = (a —a)[a'f"(x) +f(«)];

On aura aussi, en faisant u = « dans la première des
équations (2), et en remarquant que f(«) est nulle,

(5) F(a) = (a —a)f'(a).

Des équations (4) et (5) on tire

 

« EF(«a)+F,(a) _ « f"(a) +f,(a).
F{1) es F'(@) ?

par suite, la valeur de Eœ est

et l'on voit qu’elle est indépendante de a. La somme des
distances à l’axe des y des points de contact de notre
courbe avec les tangentes parallèles à la direction donnée
est donc indépendante de cette direction; ce qui dé-
montre le théorème énoncé, car l’axe des y est une droite
quelconque située dans le plan.

La démonstration précédente semble en défaut lorsque
l'équation f(«) = o a des racines égales; pour montrer
que les conclusions sont cependant exactes dans ce cas,
on peut employer un raisonnement dont nous avons déjà
fait usage. Il suffira de changer infiniment peu les coef-
ficients de f, de manière que f(æ)= 0 n’ait plus de
racines égales, et de supposer ensuite ces changements
nuls : on aura une courbe infiniment peu différente de
la proposée, et pour laquelle le.théorème aura lieu ; d’où
l’on peut conclure qu’il a lieu, à la limite, pour la courbe
proposée elle-même.

9276. Le théorème précédent conduit à quelques con-